Les procès-verbaux du Bureau des longitudes

[Note de Gabriel Gascheau relative aux conditions de stabilité dans un cas particulier du problème de trois corps]

Titre [Note de Gabriel Gascheau relative aux conditions de stabilité dans un cas particulier du problème de trois corps]
Créateur Gascheau, Gabriel (1798-1883)
Contexte Volume 1829-1843
Date 1843-02-01
Identifiant O1829_1843_739
Relation O1829_1843_738
Format 21,9 x 32,7 cm; image/jpeg;
Éditeur Bureau des longitudes; Observatoire de Paris; Laboratoire d'Histoire des Sciences et de Philosophie - Archives Henri Poincaré (UMR 7117 CNRS / Université de Lorraine);
Droits CC BY-SA 3.0 FR
Type Manuscrit; Text; Note;
Description

« On trouve, dans le 10ème livre de la Mécanique céleste, les solutions de deux cas particuliers du problème des trois corps. Dans le premier cas, les mobiles occupent constamment les trois sommets d'un triangle équilatéral, et dans le second, les corps restant toujours en ligne droite, conservent entre leurs distances mutuelles des rapports constants qui dépendent des valeurs relatives des masses.

« De cette dernière proposition, Laplace conclut que si les conditions qu'elle suppose avaient été remplies à l'origine du mouvement, la lune aurait pu éclairer régulièrement toutes nos nuits. Mais M. Liouville, dans un mémoire lu à l'académie le 4 avril 1842, a examiné la question de stabilité qui, seule, pouvait assurer l'exactitude de cette conclusion, et il a reconnu que le mouvement dont il s'agit ne peut exister d'une manière permanente.

« Quant au premier cas qui ne peut être l'objet d'une assertion analogue, et il n'y a sans doute pas autant d'intérêt à savoir si le mouvement dont il fixe les lois est stable ou instable. Toutefois, comme la solution que j'en ai obtenue est très symétrique et conduit à un résultat simple, j'ai pensé qu'elle ne paraîtrait pas indigne de l'attention des géomètres. Je prouve que le mouvement est stable ou instable suivant que le rapport du carré de la somme des trois masses à la somme des produits deux à deux de ces masses est supérieur ou inférieur à 27. Il n'arrive donc pas ici, comme dans le cas des corps rangés en ligne droite, que le mouvement soit toujours instable ; il est facile de voir au contraire, par la condition indiquée, que la stabilité sera assurée si l'une des masses est très grande par rapport aux deux autres, ainsi que cela a lieu pour le soleil, la terre et la lune.

« Pour résoudre cette question, j'établis d'abord un théorème servant à reconnaître les cas d'intégrabilité d'une classe d'équations linéaires, et auquel on parvient par une élimination qui m'a paru assez heureuse. Il est vrai que cette méthode qui, dans mon mémoire, remplace une transformation employée par M. Liouville est plus laborieuse que la marche suivie par cet habile géomètre ; mais le moyen employé ici pourrait, dans d'autres cas, conduire à trouver des intégrales particulières que ne donnerait pas la transformation citée. J'ai donc cru que, pour ce motif, la première partie de ma note pourrait avoir quelque intérêt.

« Gascheau, ancien élève de l'Ecole polytechnique, inspecteur de l'académie d'Orléans. »

Type de document Procès-verbal
Transcripteur Feurtet, Jean-Marie
Collection Volume 1829-1843
Citer ce document “[Note de Gabriel Gascheau relative aux conditions de stabilité dans un cas particulier du problème de trois corps]”, 1843-02-01, Les procès-verbaux du Bureau des longitudes, consulté le 28 mars 2024, http://purl.oclc.org/net/bdl/items/show/2647

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