Sur les figures ellipsoïdales à trois axes inégaux, qui peuvent convenir à l'équilibre d'une masse liquide homogène, douée d'un mouvement de rotation ; par Mr Liouville

« Sur les figures ellipsoïdales à trois axes inégaux, qui peuvent convenir à l'équilibre d'une masse liquide homogène douée d'un mouvement de rotation, par M. Liouville ».

« M. Jacobi a reconnu le premier qu'une masse liquide homogène, douée d'un mouvement uniforme de rotation, peut se maintenir d'elle-même en équilibre avec une figure ellipsoïdale à trois axes inégaux. Il suffit pour cela que les trois axes satisfassent à deux équations de condition, ou plutôt en désignant par n la vitesse angulaire de rotation et par s et t les carrés des rapports inverses des deux axes de l'équateur à l'axe de rotation, il suffit

1° que s et t soient liés entre eux par une certaine équation (1) : F(s,t)=0 ;

2° qu'on ait ensuite (2) : n²=f(s,t),

 f(s,t) étant une fonction positive de s et t. En supposant connue la vitesse n, les rapports s et t dépendent donc des équations (1) et (2) qui sont transcendantes. La discussion de ces équations offrirait un problème difficile qu'un jeune géomètre de Königsberg, M. Meyer, a très habilement résolu. Soit pour fixer les idées s > t ; M. Meyer prouve pour que pour toutes les valeurs de n comprises entre 0 et une certaine limite supérieure n' qui répond au cas extrême de s = t, il y a un seul couple de valeurs correspondantes s et t, s allant en diminuant à partir de l'unité et t en augmentant à partir de 0, à mesure que n augmente. En faisant n > n', on ne trouve plus pour s et t de valeurs réelles (en lisant dans le Journal de M. Crelle (t. 24, p. 44) le mémoire de M. Meyer, on y trouvera quelques fautes d'impression ou même de calcul ; mais les conclusions de l'auteur n'en sont pas moins parfaitement exactes).

Je me suis proposé de traiter la question sous un autre point de vue, que déjà Laplace avait indiqué en s'occupant des figures elliptiques de révolution. Par des raisons semblables à celles que développe ce grand géomètre (Mécaniques céleste, livre 3, n° 21), je me donne, non plus la vitesse angulaire, mais le moment de rotation, c'est-à-dire le produit de la vitesse angulaire par le moment d'inertie relatif à l'axe autour duquel le corps tourne. Par suite, au lieu de l'équation (2), j'emploie celle-ci

(3) q=((s+t)²/(st)^4/3) f(s,t)

q étant une quantité connue proportionnelle au carré du moment de rotation dont nous venons de parler. Pour toute valeur de q supérieure à une certaine limite q', qui répond au cas s = t, je trouve pour s et t un seul couple correspondant. Mais si l'on prend q < q' les équations en s et t n'ont plus de solutions réelles. La plus petite valeur possible de q répond ainsi à la plus petite valeur de s, c'est-à-dire à la plus grande valeur de t et de n. Lorsque q augmente jusqu'à , s augmente jusqu'à sa limite supérieure ; au contraire t et n diminuent jusqu'à 0.

Quand les valeurs de s et t sont déterminées, on en déduit sans difficulté l'axe k de rotation puis les axes k', k'' de l'équateur ; en désignant par M la masse du fluide et par S sa densité, on a en effet (4πSk³)/(3√st)=M. Je me suis assuré que l'axe k augmente à mesure que n augmente et que q diminue ; l'axe moyen k' augmente aussi et même dans un plus grand rapport ; enfin le grand axe k'' diminue.

Il y aurait beaucoup d'autres observations à faire sur ce sujet ; mais j'aurai bientôt une occasion toute naturelle d'y revenir, en présentant à l'Académie la suite de mes recherches sur la stabilité de l'équilibre des fluides (Comptes rendus, t… p…). Au lieu de considérer indifféremment des figures d'équilibre stable ou instable, bornons-nous aux figures d'équilibre stable, les seules que la nature puisse nous offrir, et bien loin de devenir plus compliqués, nos théorèmes acquerront une simplicité nouvelle, une élégance inattendue. C'est ce que j'espère démontrer dans une de nos plus prochaines séances. »