[Formules et calculs proposés par Emile Guyou]

Note jointe au procès verbal de la séance du 9 avril 1902

Les quatre feuilles ci-jointes contiennent quatre solutions différentes du problème suivant : Calculer l'heure temps moyen de Paris correspondant à la distance 16°14'50" de la Lune à Antario, le 27 mai 1904 ; l'heure approchée étant 22^h28^m.

Ces solutions ont été dressées sous la même forme pour faciliter la comparaison du travail exigé par chacune d'elles. Toutefois, il faut se garder d'attribuer à ce mode de comparaison trop de confiance ; on conçoit, en effet, par exemple, que l'addition de deux logarithmes exige une ligne d'écriture comme l'inscription d'un logarithme interpolé à la seconde d'arc et que, cependant, ce dernier résultat demande trois ou quatre fois plus de travail que le précédent.

Les solutions 1 et 2 sont celles qui viennent tout d'abord à l'esprit ; elles consistent à calculer pour deux instants comprenant l'instant cherché (ou plutôt voisins de cet instant) deux valeurs de la Distance, et à en déduire ensuite, en interpolant par parties proportionnelles, l'instant correspondant à la Distance donnée.

Dans les deux solutions 3 et 4, la question est envisagée sous une forme moins directe : Dans la relation :

[schéma]

Cos Δ = Cosδ.Cosδ' + Sinδ.Sinδ' CosP,

on connait Δ et les autres éléments sont des fonctions connues (par les éphémérides) du temps moyen ; le problème consiste à chercher quelle valeur doit être attribuée au temps moyen pour que cette relation soit identifiée. Or, cette relation peut être mise sous la forme :

[formule mathématique] ;

On fait une première hypothèse t₁ sur le temps cherché, et l'on calcule, par la Connaissance des temps, les valeurs de P₁ δ₁ δ'₁ correspondant à t₁ ; on calcule ensuite la valeur P'₁ donnée par la relation précédente. Pour que cette relation soit vérifiée, il faut que P₁ = P'₁ ; il n'en sera pas ainsi, en général, parce que t₁ ne sera pas exact.

On fera alors une seconde hypothèse t₂ sur le temps cherché, et l'on effectuera les mêmes calculs.

On aura alors, pour les instants t₁ et t₂, les valeurs de P – P' ; et l'on en conclura, en interpolant par parties proportionnelles, l'instant t où cette différence sera nulle.

Cette solution est celle qui est donnée sous le N° 3.

Dans la solution 4, on a réalisé une simplification importante en utilisant la remarque : qu'il suffit, dans cette méthode, de connaître la valeur de P – P' à un instant t₁ et sa variation dans l'unité de temps, et que cette variation peut être obtenue très facilement à l'aide des différences logarithmiques.

Comparaison des quatre solutions.

– Avantage invoqué en faveur des solutions directes 1 et 2. – 1° L'esprit de la méthode étant plus facile à comprendre que pour les solutions indirectes 3 et 4, le praticien pourrait calculer sans modèle, tandis qu'avec les solutions indirectes 3 et 4, un modèle serait presque toujours nécessaire.

Cet avantage serait important pour un calcul d'application fréquente et dont les autres parties pourraient être effectuées sans modèle ; mais ce n'est pas le cas, bien loin de là, pour le problème des distances lunaires ; il importe peu qu'une partie isolée du calcul nécessite, ou non, l'emploi d'un modèle, puisque, pour les autres parties, un modèle reste indispensable.

Inconvénient des solutions directes

1 et 2. – Les formules applicables à ces solutions exigent, soit l'emploi d'un angle auxiliaire, soit l'emploi de tables spéciales. Au premier abord, [barré : cet] l'inconvénient <de l'angle auxiliaire> ne parait pas considérable ; mais l'expérience est là pour montrer que les praticiens font habituellement de grands sacrifices pour l'éviter.

Je n'en saurais citer de meilleur exemple que la pratique suivie par les calculateurs du Nautical Almanach et de la Connaissance des temps pour obtenir les distances lunaires. La formule employée est précisément celle que propose M. Loewy, savoir : [formule mathématique]. Or, pour éviter le recours à l'angle auxiliaire φ, et uniquement pour cela, les calculateurs emploient une table des sinus verses et des logarithmes sinus verses. On la calcule, en effet, sous la forme suivante :

Sin.verseΔ = Sin.verse(δ – δ') + [Sinδ.Sinδ'.Sin.verseP]

la valeur du terme entre crochets s'obtient par la table des logarithmes des nombres.

Avantage de la solution indirecte 3. – Cette solution offre l'avantage d'être entièrement logarithmique ; j'ajouterai que la formule qui y est utilisée est d'un emploi très fréquent en navigation.

Avantages et inconvénients de la solution 4 (par les différences logarithmiques). – Cette solution est évidemment beaucoup plus rapide que toutes les autres ; elle est plus rationnelle aussi, puisque au lieu de traîner, dans les calculs, des logarithmes dont on n'a à considérer que les accroissements, elle ne fait intervenir que les accroissements eux-mêmes.

On a objecté que son emploi exigeait une attention spéciale pour les signes ; mais les règles à suivre pour éviter toute erreur à ce sujet sont très simples ; les règles sont inscrites en tête de la feuille N° 4.

Dernière remarque à propos des méthodes par double calcul-1-2-3. – Dans les exemples présentés, on a choisi pour instants t₁ et t₂ des instants correspondant à des dizaines rondes de minutes. Il résultait, en effet, de ce choix le petit avantage de n'exiger que des multiplications par un seul chiffre pour les interpolations (lunaires, bien entendu). Cet avantage est illusoire ; il ne faut pas en effet, perdre de vue que, dès le début du calcul de longitude, on a dû calculer les éphémérides pour l'instant donné (ici 22^h28^m) afin d'obtenir les hauteurs et les corrections de parallaxe et réfraction.

Il résulte de là que, au moment où l'on fait le calcul final que nous considérons, on connait déjà les éléments pour 22^h28^m ; par conséquent, toutes les interpolations nécessaires à la solution 4 sont terminées. Pour les trois autres solutions, au contraire, il serait nécessaire de faire une interpolation supplémentaire pour un second instant.

Paris le 10 Mars 1902

Signé : Guyou.

Séance du 9 avril 02

Calcul direct de la Distance pour deux instants correspondant à deux nombres ronds de dizaines de minutes.

Formule symétrique de M. Guyou

[en marge : N° 2]

[tableau de formules mathématiques]

Calcul direct de la Distance pour deux instants correspondant à deux nombres ronds de dizaines de minutes.

Formule de M. Loewy

[en marge : N° 1]

[tableau de formules mathématiques]

2^ème annexe à la Séance du 9 avril

Formule de M. Guyou par les différences logarithmiques.

Règles pour les signes.

[en marge : N° 4]

1. – Rapporter les distances polaires au pôle Nord.

2. – Cet accroissement est – (α – α'), si la Lune est à l'Ouest

________d° ________ + (α – α'), ____ d° _____ l'Est

3. – Le signe +, si δ☾ est >90° ; -, si δ☾ est <90°

ν a le signe de la Connaissance des temps.

4. – Le signe +, si δ_* est >90° ; - si δ_* est <90°,

ν' a le signe de la Connaissance des temps.

5. – Accroissement de P moins accroissement de P'.

[tableau de formules mathématiques]

Méthode de M. Guyou, sans l'emploi des différences logarithmiques.

[en marge : N° 3]

On calcule pour deux instants t₁ et t₂ : 1°: les différences P₁ et P₂ des AR des deux astres – 2°: les angles P'₁ et P'₂ correspondant aux mêmes instants par la formule :

[formule mathématique]

On fait les différences : P₁ – P'₁ et P₂ – P'₂, et l'on détermine l'instant où cette différence eût été nulle.

[tableau de formules mathématiques]