[Addendum à la séance du 24 décembre 1845]

M. Liouville communique au Bureau quelques théorèmes que lui a envoyés M. Michael Roberts de Dublin, et qui sont relatifs aux lignes géodésiques et aux lignes de courbure sur la surface d'un ellipsoïde quelconque. M. Roberts prouve par exemple que les lignes géodésiques qui partent dans toutes les directions possibles, d'un des ombilics de l'ellipsoïde, vont nécessairement aboutir à l'ombilic opposé où elles arrivent avec des longueurs égales. Il y prouve aussi que les lignes de courbure peuvent être décrites par le moyen d'un fil tendu sur la surface comme les ellipses et les hyperboles le font sur un plan ; ici il faut prendre pour foyers deux ombilics. Les démonstrations de M. Michaël Roberts sont très simples : il part de l'équation , que M. Liouville a donnée dans le tome IX du Journal de mathématiques (page 401). M. Liouville rapporte ensuite un théorème que M. Chasles a déduit des mêmes principes. Enfin, il cite, d'après M. Roberts, et comme ayant quelque rapport avec le sujet, le théorème suivant de M. Mac-Cullagh : les projections des lignes de courbure de l'ellipsoïde faites sur les plans des sections circulaires par des droites parallèles au petit axe de la surface, sont des ellipses et des hyperboles, ayant pour foyer commun les projections des ombilics.